[LeetCode]Factorial Trailing Zeroes

题目描述:

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in polynomial time complexity.

题目大意:

给定一个整数n,返回n!(n的阶乘)数字中的后缀0的个数。

注意:你的解法应该满足多项式时间复杂度。

解题思路:

参考博文:http://www.geeksforgeeks.org/count-trailing-zeroes-factorial-number/

朴素解法:

首先求出n!,然后计算末尾0的个数。(重复÷10,直到余数非0)

该解法在输入的数字稍大时就会导致阶乘得数溢出,不足取。

O(logn)解法:

一个更聪明的解法是:考虑n!的质数因子。后缀0总是由质因子2和质因子5相乘得来的。如果我们可以计数2和5的个数,问题就解决了。考虑下面的例子:

n = 5: 5!的质因子中 (2 * 2 * 2 * 3 * 5)包含一个5和三个2。因而后缀0的个数是1。

n = 11: 11!的质因子中(2^8 * 3^4 * 5^2 * 7)包含两个5和三个2。于是后缀0的个数就是2。

我们很容易观察到质因子中2的个数总是大于等于5的个数。因此只要计数5的个数就可以了。那么怎样计算n!的质因子中所有5的个数呢?一个简单的方法是计算floor(n/5)。例如,7!有一个5,10!有两个5。除此之外,还有一件事情要考虑。诸如25,125之类的数字有不止一个5。例如,如果我们考虑28!,我们得到一个额外的5,并且0的总数变成了6。处理这个问题也很简单,首先对n÷5,移除所有的单个5,然后÷25,移除额外的5,以此类推。下面是归纳出的计算后缀0的公式。

n!后缀0的个数 = n!质因子中5的个数
              = floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ....

Python代码:

class Solution:
    # @return an integer
    def trailingZeroes(self, n):
        x = 5
        ans = 0
        while n >= x:
            ans += n / x
            x *= 5
        return ans

 

本文链接:http://bookshadow.com/weblog/2014/12/30/leetcode-factorial-trailing-zeroes/
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